Презентация Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.

Смотреть слайды в полном размере
Презентация Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.


Вашему вниманию предлагается презентация «Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 16 слайдов и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 1.09 MB

Просмотреть и скачать

Pic.1
Лекция 2. 2 Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.
Лекция 2. 2 Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.
Pic.2
Свойства функций, имеющих предел. ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) имеет предел в точке а, то найдется т
Свойства функций, имеющих предел. ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) имеет предел в точке а, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в которой функция ограничена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Тогда, по определению предела, для  = 1 найдется такая проколотая -окрестность точки а , что для всех выполняется неравенство А – 1 < f(x) < А+1. Это и означает ограниченность функции на множестве
Pic.3
ТЕОРЕМА 2. Если функция f(x) имеет в точке а предел, отличный от нуля, то найдется такая проколотая
ТЕОРЕМА 2. Если функция f(x) имеет в точке а предел, отличный от нуля, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в которой функция сохраняет знак предела. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Тогда, по определению предела, для найдется такая проколотая -окрестность точки а , что Если А > 0, то из левого неравенства  если А < 0, то из правого неравенства 
Pic.4
ТЕОРЕМА 3. Если f (x)  0 в некоторой проколотой окрестности точки а и то А  0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вос
ТЕОРЕМА 3. Если f (x)  0 в некоторой проколотой окрестности точки а и то А  0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем числовую последовательность Тогда Следовательно, по соответствующей теореме для числовых последовательностей, А  0.
Pic.5
ТЕОРЕМА 4. (О двух милиционерах. ) Если в некоторой проколотой окрестности точки а справедливы нерав
ТЕОРЕМА 4. (О двух милиционерах. ) Если в некоторой проколотой окрестности точки а справедливы неравенства f(x)  g(x)  (x) и существуют то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем сходящуюся к а. Тогда и f( xn)  g( xn)   ( xn) для всех n. Следовательно по теореме о двух милиционерах для числовых последовательностей т. е. существует
Pic.6
ТЕОРЕМА 5. Если f(x) = с – постоянная в некоторой проколотой окрестности точки а, то Если существуют
ТЕОРЕМА 5. Если f(x) = с – постоянная в некоторой проколотой окрестности точки а, то Если существуют тогда существуют и
Pic.7
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП сходящуюся к а. Тогда f(xn)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП сходящуюся к а. Тогда f(xn) = с для всех n и следовательно 2. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП сходящуюся к а. Тогда по теореме о пределе суммы для ЧП то есть
Pic.8
СЛЕДСТВИЯ из теорем 3, 5. Если f(x)  В в некоторой проколотой окрестности точки а и то А  В. Если
СЛЕДСТВИЯ из теорем 3, 5. Если f(x)  В в некоторой проколотой окрестности точки а и то А  В. Если существует то для любого числа С
Pic.9
Арифметика бесконечностей. Введем обозначения: С = const  0. ∞ – бесконечно большая функция произво
Арифметика бесконечностей. Введем обозначения: С = const  0. ∞ – бесконечно большая функция произвольного знака; + ∞ – бесконечно большая положительная функция; – ∞ – бесконечно большая отрицательная функция; 0 – бесконечно малая функция; 1 – функция, предел которой равен 1. Тогда имеют место следующие соотношения: С∞ = ∞ С/0 = ∞ С/∞ = 0 + ∞ + ∞ = + ∞ –∞ – ∞ = – ∞ (+∞)С = + ∞, если С>0 (0, если C < 0) (+∞)+∞ = + ∞
Pic.10
Неопределенные ситуации, требующие исследования. 0/0 0∞ ∞/∞ ∞ – ∞ 1∞ 00 ∞0
Неопределенные ситуации, требующие исследования. 0/0 0∞ ∞/∞ ∞ – ∞ 1∞ 00 ∞0
Pic.11
Асимптоты графика функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая х = а называется вертикальной
Асимптоты графика функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполнено хотя бы одно из условий: ПРИМЕР. Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции так как
Pic.12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая у = kx + b называется накло
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х +  (при х – ), если СПОСОБ ОТЫСКАНИЯ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. ТЕОРЕМА. Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х +  (при х – ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
Pic.13
Доказательство. Доказательство. Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = (х), где (х) бесконечно малая при х
Доказательство. Доказательство. Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = (х), где (х) бесконечно малая при х + . Отсюда получим, что
Pic.14
Пусть Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = (f(x) –kx) – b = b+ (х) – b = (х)  0 при х +. ЗАМЕЧАНИЕ. Дл
Пусть Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = (f(x) –kx) – b = b+ (х) – b = (х)  0 при х +. ЗАМЕЧАНИЕ. Для случая горизонтальной асимптоты теорема формулируется так: Для того, чтобы прямая y = b была асимптотой графика функции f(x) при х + , необходимо и достаточно, чтобы
Pic.15
ПРИМЕР. ПРИМЕР. Найдем наклонные асимптоты графика функции Для этого вычислим необходимые пределы: А
ПРИМЕР. ПРИМЕР. Найдем наклонные асимптоты графика функции Для этого вычислим необходимые пределы: Аналогично при х – .
Pic.16
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!