Презентация КРАТНЫЕ И ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Смотреть слайды в полном размере
Презентация КРАТНЫЕ И ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


Вашему вниманию предлагается презентация «КРАТНЫЕ И ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 13 слайдов и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 293.50 KB

Просмотреть и скачать

Pic.1
Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование
Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Pic.2
Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0
Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0. Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область . С геометрической точки зрения  - площадь фигуры, ограниченной контуром.
Pic.3
Разобьем область  на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на рассто
Разобьем область  на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние , а по оси у – на . Вообще говоря, такой порядок разбиения необязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера. Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны В каждой частичной области возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области . Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.
Pic.4
Определение Если при стремлении к нулю шага разбиения области  интегральные суммы имеют конечный пр
Определение Если при стремлении к нулю шага разбиения области  интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области . учетом того, что получаем: В приведенной выше записи имеются два знака , т. к. суммирование производится по двум переменным х и у. Т. к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек , то, считая все площади одинаковыми, получаем формулу:
Pic.5
Условия существования двойного интеграла Сформулируем достаточные условия существования двойного инт
Условия существования двойного интеграла Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существует.
Pic.6
Теорема Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области  и непрерывна в ней всюду, кроме конечн
Теорема Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области  и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.
Pic.7
Свойства двойного интеграла. 1) 2) 3) Если  = 1 + 2, то 4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от
Свойства двойного интеграла. 1) 2) 3) Если  = 1 + 2, то 4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования. 5) Если f(x, y)  0 в области , то 6) Если f1(x, y)  f2(x, y), то 7)
Pic.8
Вычисление двойного интеграла Теорема Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , огранич
Вычисление двойного интеграла Теорема Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  - непрерывные функции и   , тогда
Pic.9
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y)  (y)), то
Pic.10
Замена переменных в двойном интеграле Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная изменяется в
Замена переменных в двойном интеграле Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная изменяется в пределах от a до b, а переменная – от до Положим Тогда
Pic.11
т. к. при первом интегрировании переменная принимается за постоянную, то т. к. при первом интегриров
т. к. при первом интегрировании переменная принимается за постоянную, то т. к. при первом интегрировании переменная принимается за постоянную, то подставляя это выражение в записанное выше соотношение для , получаем:
Pic.12
Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций и Выражение называется определителем
Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций и Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций и (Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик) Тогда Т. к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для принимает вид ( при первом интегрировании полагаем ), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:
Pic.13
Двойной интеграл в полярных координатах. Воспользуемся формулой замены переменных: При этом известно
Двойной интеграл в полярных координатах. Воспользуемся формулой замены переменных: При этом известно, что В этом случае Якобиан имеет вид: Тогда Здесь  - новая область значений,


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!