Презентация «Производные функций. Правила дифференцирования. Дифференциал функции»
Смотреть слайды в полном размере 
Вы можете ознакомиться с презентацией онлайн, просмотреть текст и слайды к ней, а также, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати. Документ содержит 42 слайда и доступен в формате ppt. Размер файла: 888.03 KB
Pic.1
ВОЕННО–МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ имени С. М. Кирова Кафедра биологической и медицинской физики ЛЕКЦИЯ № 2 по дисциплине «Математика» на тему: «Производные функций. Правила дифференцирования. Дифференциал …
Pic.2
1. Понятие производной. Правила дифференцирования. Производные от основных элементарных функций. Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке, и пусть x0 - некоторая точка этого …
Pic.3
Определение. Если существует , то этот предел называется производной от функции у = f(x) по переменной х в точке x0 (обозначения: или у'х). Итак:
Pic.4
Если этот предел конечен, то производная называется конечной, если же этот предел бесконечен, то у'х — бесконечная производная. Если конечная производная существует в каждой точке некоторого …
Pic.5
Пример. Найдем производную у = х2 на основании определения производной. Решение. Δy=(x+Δx)2-x2 = 2x. Δx + (Δx)2. Тогда:
Pic.6
Геометрический и физический смысл производной Физический смысл - производная функции отражает скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Например, если x = f(t) есть уравнение …
Pic.7
Скорость (быстрота) протекания физических, химических, биологических процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т. п. , также выражается при помощи производной. …
Pic.8
Геометрический смысл: Производная функции у = f(x) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х (тангенс угла наклона касательной к …
Pic.9
Pic.10
При этом если существует касательная, то существует и производная, и наоборот. Случаю касательной, не параллельной оси OY, отвечает конечная производная, параллельной оси OY – бесконечная производная.
Pic.11
Pic.12
Дифференцируемость функции в точке Определение: Если приращение функции y = f(x) в точке х можно представить в форме Δy = AΔx + αΔx, где А не зависит от Δх и α – бесконечно малое в точке х, то эта …
Pic.13
Из последнего равенства следует, что Перейдя к пределу при Δх → 0, получим:
Pic.14
Итак, если y = f(x) дифференцируема в точке х, то приращение этой функции можно представить в виде где α – бесконечно малое в точке х. Отсюда следует, что если функция y = f(x) дифференцируема в …
Pic.15
Связь дифференцируемости и непрерывности Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости): Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в ней. Обратное утверждение неверно, то …
Pic.16
Pic.17
Правила дифференцирования: 1. Производная от постоянной величины равна нулю, т. е. если y = C, то y’ = 0: Доказательство. По определению производной y’ = Очевидно, что Δу = 0, следовательно Δу/Δх= 0; …
Pic.18
2. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых: (u + v + w + . . . )' = u ' + v ' + w ' + . . . Доказательство. Очевидно, Δ(u + v + …
Pic.19
3. Производная произведения двух функций определяется формулой: 4. Производная частного от деления двух функций определяется формулой:
Pic.20
Производные от основных элементарных функций:
Pic.21
Pic.22
2. Дифференцирование сложной функции. Рассмотрим сложную функцию с одним промежуточным аргументом: у=f(u),u =φ(х), предполагая при этом, что функция у дифференцируема по аргументу u, а функция u …
Pic.23
На основании определения производной имеем
Pic.24
Если учесть, что
Pic.25
или, в других обозначениях,
Pic.26
Пример. Найти у', если: у = sin3 5х. Производную этой сложной функции будем находить по формуле Тогда
Pic.27
Производная обратной функции. Предположим, что функция у = f(x) определена, монотонна и дифференцируема в некоторой области, причем производная dy/dx нигде не равна нулю. Наша функция у = f(x) имеет …
Pic.28
Для вывода можно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции с одним промежуточным аргументом. Согласно представлениям о сложной функции функцию у можно рассматривать как сложную …
Pic.29
На основании правила дифференцирования сложной функции получаем: Поскольку = 1, получаем правило дифференцирования обратной функции:
Pic.30
3. Дифференциал функции: определение, геометрический смысл. Определение. Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение ее аргумента:
Pic.31
Как видно из определения, дифференциал функции существует лишь для дифференцируемых функций, то есть функций, имеющих производную. Дифференциал функции прямо пропорционален приращению аргумента Δx …
Pic.32
Связь между дифференциалом функции и приращением функции: Рассмотрим следующий пример: Найдем приращение Δy функции y =x2 и дифференциал этой функции: Δy = (x + Δx)2 – x2 = x2 + 2xΔx + (Δx)2 – x2 = …
Pic.33
Рассмотрим малые приращения аргумента. Например, пусть при x = 1 приращение аргумента равно 0,01. В этом случае первое слагаемое в приращении функции (равное величине дифференциала) составит 0,02, а …
Pic.34
Таким образом, дифференциал функции, в общем случае отличаясь от приращения функции, представляет собой главную часть этого приращения, линейную относительно приращения аргумента. В этом заключается …
Pic.35
При достаточно малых приращениях аргумента величина приращения функции приближенно равна дифференциалу этой функции: Δy ≈ dy, причем погрешность этого приближенного равенства тем меньше, чем меньше …
Pic.36
Геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим график функции y = f(x).
Pic.37
Пусть через точку A (x,y), лежащую на кривой графика функции, проведена касательная DF, образующая угол FDC = φ с положительным направлением оси 0X. Пусть точка B (x + Δx; y + Δy) также принадлежит …
Pic.38
Поскольку углы FAE и FDC равны как соответственные при пересечении параллельных прямых АЕ и DC прямой DF, то угол FAE прямоугольного треугольника AFE также равен φ. Из этого треугольника для катета …
Pic.39
Учитывая, что катет АЕ = Δx, а из геометрического смысла производной следует, что tgφ = y’, то из этого равенства имеем: FE = y’•Δx = dy. Дифференциал функции y = f(x) в точке с абсциссой x равен …
Pic.40
Дифференциал аргумента функции Рассмотрим функцию, равную своему аргументу: y = x. Тогда дифференциал функции равен дифференциалу аргумента: dy =y’•Δx = 1•Δx = Δx Таким образом, дифференциал …
Pic.41
Формулу дифференциала функции можно записать в виде: dy = y’dy, а формулу производной – в виде:
Pic.42
Таким образом, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.
Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!
