Презентация «Основы теории матричных игр. Принятие решений в условиях неопределенности»
Смотреть слайды в полном размере 
Вы можете ознакомиться с презентацией онлайн, просмотреть текст и слайды к ней, а также, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати. Документ содержит 39 слайдов и доступен в формате ppt. Размер файла: 389.00 KB
Pic.1
Pic.2
Подавляющее большинство социально-экономических решений приходится принимать с учетом противоречивых интересов, относящихся либо к различным лицам или организациям, либо к различным аспектам …
Pic.3
1. Основные понятия теории 1. Основные понятия теории матричных игр
Pic.4
Теория игр, раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Теория игр, раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в …
Pic.5
Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались начиная с 17 в. многими учёными. Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались начиная с 17 в. …
Pic.6
В условиях конфликта стремление противника скрыть свои предстоящие действия порождает неопределённость. Наоборот, неопределённость при принятии решений (например, на основе недостаточных данных) …
Pic.7
Всякая игра включает в себя три элемента: участников игры – игроков, правила игры, оценку результатов действий игроков. Всякая игра включает в себя три элемента: участников игры – игроков, правила …
Pic.8
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Стратегией игрока называется совокупность правил, …
Pic.9
Антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми. Для задания такой игры достаточно выписать так называемую платежную матрицу, в которой …
Pic.10
Рассмотрим простейшую модель – игру, в которой участвуют два игрока, множество стратегий каждого игрока конечно, а выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (бескоалиционная, конечная, …
Pic.11
Такую игру (Г ) называют матричной. Такую игру (Г ) называют матричной. Она определяется тройкой Г=(X,Y,K), где Х – множество стратегий 1-го игрока, Y – множество стратегий 2-го игрока, K=K(x,y) – …
Pic.12
Пусть 1-й игрок имеет всего m стратегий, а 2-й – n стратегий: Пусть 1-й игрок имеет всего m стратегий, а 2-й – n стратегий: Х=М={1,2, …, m}, Y=N={1,2, …, n}. Тогда игра Г полностью определяется …
Pic.13
Принцип минимакса (максимина) Величина называется нижней ценой игры или максиминным выигрышем (максимином). Величина называется верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом).
Pic.14
Пусть – платежная матрица игры Г. Пусть – платежная матрица игры Г. Если 1-й игрок выбрал стратегию i, то в худшем случае он выиграет . Поэтому он всегда может гарантировать себе выигрыш …
Pic.15
Второй игрок, выбрав стратегию j, в худшем случае проиграет , а значит, может гарантировать себе проигрыш , Второй игрок, выбрав стратегию j, в худшем случае проиграет , а значит, может гарантировать …
Pic.16
Схема: Схема:
Pic.17
Например, Например, Соответствующие стратегии: i0=1(максиминная), j0=1,2 (минимаксная).
Pic.18
Справедливо неравенство: Справедливо неравенство:
Pic.19
Ситуация (i*, j*) называется ситуацией равновесия, или седловой точкой, если для любых , , выполняется неравенство Ситуация (i*, j*) называется ситуацией равновесия, или седловой точкой, если для …
Pic.20
Ситуация равновесия существует тогда и только тогда, когда (это значение и является ценой игры v). Ситуация равновесия существует тогда и только тогда, когда (это значение и является ценой игры v).
Pic.21
Например, Например, (2,3)-ситуация равновесная, v =4 – цена игры, i*=2, j*=3 – оптимальные стратегии 1-го и 2-го игроков. Выбрав их, 1-й игрок обеспечит себе выигрыш не менее 4 ед. , а 2-й игрок …
Pic.22
Смешанной стратегией для 1-го игрока называется упорядоченная система m действительных чисел x=(x1, x2, …, xm), , Смешанной стратегией для 1-го игрока называется упорядоченная система m …
Pic.23
Функция выигрыша K(x,y) в ситуации (x,y) определяется как математическое ожидание выигрыша 1-го игрока при условии, что 1-й и 2-й игроки выбрали соответственно стратегии x=(x1, x2, …, xm) и y=(y1, …
Pic.24
Если для некоторых и и для всех и выполняется неравенство , то x*, y* называются оптимальными смешанными стратегиями игроков, Если для некоторых и и для всех и выполняется неравенство , то x*, y* …
Pic.25
Свойства оптимальных стратегий. Свойства оптимальных стратегий.
Pic.26
1. Пусть K(x,y) – математическое ожидание выигрыша в игре ГА с ценой v. 1. Пусть K(x,y) – математическое ожидание выигрыша в игре ГА с ценой v. Тогда, для того чтобы элемент был оптимальной …
Pic.27
2. Пусть K(x,y) – математическое ожидание выигрыша в игре ГА, 2. Пусть K(x,y) – математическое ожидание выигрыша в игре ГА, v – действительное число, , . Тогда, для того чтобы v было ценой игры, а x* …
Pic.28
3. Если x*, y* – решение -игры ГА, то 3. Если x*, y* – решение -игры ГА, то
Pic.29
4. Пусть , , v – решение игры ГА. 4. Пусть , , v – решение игры ГА. Тогда для любого , при котором , выполняется неравенство xi=0, а для любого , при котором , выполняется неравенство yj=0.
Pic.30
5. (Лемма о масштабе). 5. (Лемма о масштабе). Если ГА – игра с матрицей , а – игра с матрицей , где , где α,=const, α>0, то множества оптимальных стратегий игроков в играх ГА и совпадают, а . …
Pic.31
2. ( ) - игры 2. ( ) - игры
Pic.32
Пусть – платежная матрица игры Г. Если она не имеет седловой точки, то единственное решение игры Г можно найти
Pic.33
1) решив две системы: 1) решив две системы:
Pic.34
2) по формулам: 2) по формулам: или или
Pic.35
3) в матричном виде: 3) в матричном виде: где – определитель матрицы А, А* – присоединенная к А матрица (транспонированная матрица из алгебраических дополнений), , , , JT и yT – транспонированные …
Pic.36
Найдем, например, решение игры с Найдем, например, решение игры с платежной матрицей , которая не имеет седловой точки.
Pic.37
1) Составим системы: 1) Составим системы: Решив системы, получим: то есть -решение игры.
Pic.38
2) Найдем решение по формулам: 2) Найдем решение по формулам:
Pic.39
3) Найдем решение в матричном виде: 3) Найдем решение в матричном виде:
Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!
