Презентация - Непрерывная случайная величина

Смотреть слайды в полном размере
Презентация Непрерывная случайная величина


Вашему вниманию предлагается презентация на тему «Непрерывная случайная величина», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 20 слайдов и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 521.00 KB

Просмотреть и скачать

Pic.1
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Pic.2
Лекция 5. Лекция 5. Основные изучаемые вопросы: Непрерывные случайные величины. Функция распределени
Лекция 5. Лекция 5. Основные изучаемые вопросы: Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случайной величины. Равномерный и нормальный законы распределения.
Pic.3
НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Другой тип случайных величин, кардинал
НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Другой тип случайных величин, кардинально отличающийся от дискретных, - непрерывные случайные величины. Непрерывная случайная величина - это случайная величина, бесконечное и несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный), и она сплошь заполняет этот интервал. Следовательно, закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать рядом распределения. Для этого используются интегральная и дифференциальная функции распределения.
Pic.4
Функция распределения непрерывной Функция распределения непрерывной случайной величины Функция распр
Функция распределения непрерывной Функция распределения непрерывной случайной величины Функция распределения (интегральная функция) определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее фиксированного действительного числа х: F(x) = Р(Х < х). Функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна в любой точке и имеет всюду (кроме, возможно, конечного числа точек) непрерывную производную. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение Х в интервале (х1, х2), определяется так: Р(х1 < X < х2) = F(х2) – F(x1).
Pic.5
Свойства интегральной функции распределения непрерывной случайной величины Свойства интегральной фун
Свойства интегральной функции распределения непрерывной случайной величины Свойства интегральной функции распределения непрерывной случайной величины 1. Функция распределения может принимать любые значения от 0 до 1, так как по определению является вероятностью: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Интегральная функция распределения является неубывающей: F(x2) ≥ F(x1), если х2 ≥ х1. 3. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (х1, х2), то F(х) = 0, при X < х1, F(х) = 1 при X > х2.
Pic.6
Функция плотности вероятностей Функция плотности вероятностей непрерывной случайной величины Определ
Функция плотности вероятностей Функция плотности вероятностей непрерывной случайной величины Определим некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины, т. е. представим некоторую замену вероятностям рi для дискретной случайной величины в непрерывном случае. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю. Поэтому необходимо рассматривать вероятность попадания в некоторый интервал. Рассмотрим вероятность попадания случайной точки на элементарный участок (х, х) длины х непрерывной случайной величины X, имеющей непрерывную и дифференцируемую функцию распределения F(x) на этом участке. По свойству функции распределения: Р(х < X <x + х) = F(x + х) - F(x).
Pic.7
Определим теперь отношение этой вероятности к длине участка, т. е. среднюю вероятность, приходящуюся
Определим теперь отношение этой вероятности к длине участка, т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины рассматриваемого участка, и рассмотрим предел при х  0: Определим теперь отношение этой вероятности к длине участка, т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины рассматриваемого участка, и рассмотрим предел при х  0: Функция, характеризующая плотность, с которой распределяются значения непрерывной случайной величины в данной точке, называется функцией плотности распределения или функцией плотности вероятностей f(x).
Pic.8
Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины X на
Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины X называется функция f(х), являющаяся первой производной интегральной функции распределения Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины X называется функция f(х), являющаяся первой производной интегральной функции распределения f(x) = F'(x).
Pic.9
Свойства функции плотности вероятностей Свойства функции плотности вероятностей 1. Функция плотности
Свойства функции плотности вероятностей Свойства функции плотности вероятностей 1. Функция плотности вероятностей принимает только неотрицательные значения как производная неубывающей функции распределения F(x): f(x)>0. 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал от x1 до х2 равна определенному интегралу от функции плотности вероятностей в этих пределах: 3. Функция распределения непрерывной случайной величины равна интегралу от функции плотности вероятностей в пределах от - до х: Интеграл в бесконечных делах от функции плотности вероятностей равен 1 (как сумма вероятностей всех возможных значении случайной величины X):
Pic.10
Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины Основные числовые характеристики неп
Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины 1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле: 2. Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле: 3. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
Pic.11
Пример. Задана функция распределения случайной величины X: Пример. Задана функция распределения случ
Пример. Задана функция распределения случайной величины X: Пример. Задана функция распределения случайной величины X: Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина примет значение большее 0,3, но меньшее 0,7. Найти плотность вероятности распределения случайной величины и ее дисперсию. Решение. По свойству интегральной функции распределения: P(x1 < X < x2) = F(x2) - F(x1), то есть Р(0,3 < X < 0,7) = F(0,7) - F(0,3) = 0,7 - 0,3 = 0,4.
Pic.12
По определению плотности вероятностей случайной величины: По определению плотности вероятностей случ
По определению плотности вероятностей случайной величины: По определению плотности вероятностей случайной величины: Вероятность попадания непрерывной случайной величины в определенный интервал на основании свойства плотности распределения вероятностей: т. е. По определению, математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:
Pic.13
По определению, дисперсия непрерывной случайной величины равна: По определению, дисперсия непрерывно
По определению, дисперсия непрерывной случайной величины равна: По определению, дисперсия непрерывной случайной величины равна:
Pic.14
Основные законы распределения непрерывных случайных величин Основные законы распределения непрерывны
Основные законы распределения непрерывных случайных величин Основные законы распределения непрерывных случайных величин 1. Равномерный закон распределения Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [а; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т. е. f(x) имеет вид:
Pic.15
Функция распределения равномерно распределенной случайной величины имеет вид Функция распределения р
Функция распределения равномерно распределенной случайной величины имеет вид Функция распределения равномерно распределенной случайной величины имеет вид Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины: M[X] = (b + a)/2. Дисперсия равномерно распределенной случайной величины: D[X] = (b - a)2/12.
Pic.16
2. Нормальный закон распределения 2. Нормальный закон распределения Нормальное распределение – наибо
2. Нормальный закон распределения 2. Нормальный закон распределения Нормальное распределение – наиболее часто встречающийся вид распределения. Наиболее важным условием возникновения нормального распределения является формирование признака Х как суммы большого числа независимых слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсией. Главная особенность нормального распределения состоит в том, что оно является предельным, к которому с ростом числа наблюдений стремятся другие распределения. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами  и , если ее плотность вероятности имеет вид: где  - математическое ожидание X, 2 - дисперсия ( - среднее квадратическое отклонение).
Pic.17
Свойства функции плотности вероятности (кривой Гаусса) нормального закона распределения Свойства фун
Свойства функции плотности вероятности (кривой Гаусса) нормального закона распределения Свойства функции плотности вероятности (кривой Гаусса) нормального закона распределения 1. f(x) > 0 существует при любых действительных х. 2. f(x)  0 при х  . 3. Максимальное значение f(x) принимает в точке х0 = , при этом 4. Кривая плотности нормального закона распределения симметрична относительно прямой х = . 5. Кривая плотности нормального закона распределения имеет две точки перегиба с координатами
Pic.18
Вычислим функцию распределения случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. По опреде
Вычислим функцию распределения случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. По определению функции распределения: Вычислим функцию распределения случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. По определению функции распределения: Интеграл такого рода не выражается в элементарных функциях. Для его нахождения используют особую функцию, так называемый интеграл вероятностей или функцию Лапласа Ф(х), для которой составлены таблицы. Одна из разновидностей функции Лапласа имеет вид Свойства функции Лапласа: 1. Ф(x) - нечетная функция, т. е. Ф(-x) = -Ф(x). 2. Ф(x) - монотонно возрастающая функция, т. е. Ф(x)  1 при x  .
Pic.19
Итак, используя интеграл вероятностей или функцию Лапласа Ф(x) можно выразить функцию распределения
Итак, используя интеграл вероятностей или функцию Лапласа Ф(x) можно выразить функцию распределения нормального закона: Итак, используя интеграл вероятностей или функцию Лапласа Ф(x) можно выразить функцию распределения нормального закона:
Pic.20
Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения Свойства случайной величины, име
Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения 1. Для нахождения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (х1; х2) используется формула: 2. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания  не превысит величину  > 0 (по абсолютной величине), равна: 3. «Правило трех сигм». Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами  и , то практически достоверно (с вероятностью Р = 0,9973), что ее значения заключены в интервале ( - 3;  + 3). (Вероятность «выброса» равна 0,0027. )


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!