Презентация - Множества. Операции над множествами

Смотреть слайды в полном размере
Презентация Множества. Операции над множествами


Вашему вниманию предлагается презентация на тему «Множества. Операции над множествами», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 61 слайд и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 2.45 MB

Просмотреть и скачать

Pic.1
Множества. Операции над множествами.
Множества. Операции над множествами.
Pic.2
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Основоположник теории множеств немецкий математик
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918)
Pic.3
Основные определения теории множеств. Примеры Понятие множества является одним из фундаментальных по
Основные определения теории множеств. Примеры Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, которому трудно дать определение. Дело в том, что определить понятие – это значит найти такое родовое понятие, в которое это понятие входит в качестве вида, но понятие «множество» - это самое широкое понятие математики и математической логики, т. е. категория, а для категории нельзя найти более широкое, т. е. родовое понятие. Ограничимся описательным объяснением этого понятия.
Pic.4
Основные определения теории множеств. Примеры Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне
Основные определения теории множеств. Примеры Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое.
Pic.5
Структура множества Каждое множество состоит из того или иного набора объектов, которые называются э
Структура множества Каждое множество состоит из того или иного набора объектов, которые называются элементами множества. Факт, что элемент а принадлежит множеству Х будем обозначать: аХ. Порядок элементов в множестве несущественен. Множества {а, в, с} и {а, с, в} одинаковы. При этом, нужно иметь ввиду, что элемент а и множество {а} – это не одно и то же. Первое – это объект, обозначенный а, второе – это множество, состоящее из единственного элемента а. Поэтому можно сказать, что «а принадлежит { а }» – это истинное суждение. В то время как, «{а} принадлежит а» - это ложное суждение.
Pic.6
Способы задания множества Перечисление элементов множества. Обычно перечислением задают конечные мно
Способы задания множества Перечисление элементов множества. Обычно перечислением задают конечные множества. Описание свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.
Pic.7
Множества. Операции над множествами, слайд 7
Pic.8
Числовые множества Множество НАТУРАЛЬНЫХ чисел N, N={1, 2, 3, 4, 5, …} Множество ЦЕЛЫХ чисел Z, Z={…
Числовые множества Множество НАТУРАЛЬНЫХ чисел N, N={1, 2, 3, 4, 5, …} Множество ЦЕЛЫХ чисел Z, Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Множество РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел Q, Q={x| x=p/q, где pZ, qN} Множество ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел I - ,бесконечные непериодические дроби, ( , =3,141592…, e=2,718281, …) Множество ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ чисел R получено объединением РАЦИОНАЛЬНЫХ и ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел. Множество КОМПЛЕКСНЫХ чисел C, содержащих в себе мнимую единицу і, которая является квадратным корнем из –1. Построены для извлечения корня из отрицательных чисел. Эти виды чисел используются в современной математике. Причем комплексные числа включают в себя все остальные виды чисел. Это множество чисел наиболее широкое, хотя и оно также может расширяться.
Pic.9
Количество элементов множества Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов мно
Количество элементов множества Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов множества конечно – множество называется конечным. Определение: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества. Определение: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимооднозначное соответствие с элементами множества положительных целых чисел, то говорят, что множество счетно. Например: множество действительных чисел - бесконечное множество. множество чисел, делящихся без остатка на 3 – счетное множество, множество букв русского алфавита, множество отличников вашей группы – конечно.
Pic.10
Равенство множеств Определение: Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же
Равенство множеств Определение: Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов. Т. е. любой элемент множества Х является элементом множества Y, и любой элемент множества Y является элементом множества Х.
Pic.11
Диаграммы Эйлера-Венна Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результато
Диаграммы Эйлера-Венна Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.
Pic.12
Множества. Операции над множествами, слайд 12
Pic.13
Подмножество. Включение Определение: Множество A является подмножеством B, если любой элемент множес
Подмножество. Включение Определение: Множество A является подмножеством B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Это еще называется нестрогим включением AB. Например: Пусть Х – множество студентов некоторой группы, Е – множество отличников этой же группы. EX т. к. группа может состоять только из отличников. Когда хотят подчеркнуть, что в множестве B есть обязательно элементы, отличные от элементов множества A, то пишут AB. Это называется строгим включением. Например: Пусть Х – множество всех студентов ВлГУ, Е – множество студентов педагогического института. EX т. к. в множестве всех студентов ВлГУ обязательно есть элементы  E.
Pic.14
Пустое множество  Если характеристическим свойством, задающим множество, А не обладает ни один объе
Пустое множество  Если характеристическим свойством, задающим множество, А не обладает ни один объект, то говорят, что множество А пустое. Понятие пустого множества очень важное понятие. Оно позволяет описательно задавать множества, не заботясь, есть ли в этом множестве элементы и совершенно спокойно оперировать с этими множествами. Пустое множество будем считать конечным множеством. Например: множество действительных корней уравнения пустое.
Pic.15
Операции над множествами
Операции над множествами
Pic.16
Пересечением множества А и В называют множество, Пересечением множества А и В называют множество, со
Пересечением множества А и В называют множество, Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих элементов множеств А и В (А∩В). Например, а) А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то А∩В = {3; 9}; б) А = {10; 20; …; 100} и В = {6; 12; 18;…}, то А∩В = {30; 60; 90}.
Pic.17
Непересекающиеся множества Определение: Множества называются непересекающимися, если не имеют общих
Непересекающиеся множества Определение: Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т. е. их пересечение равно пустому множеству. Например: а) непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих. б) непересекающимися множествами являются множества А = {3; 9; 12} и В = {1; 5; 7; 11}.
Pic.18
Свойства пересечения X∩Y = Y∩X – коммутативность; (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z – ассоциативность; X∩ =
Свойства пересечения X∩Y = Y∩X – коммутативность; (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z – ассоциативность; X∩ = ; X∩I = Х;
Pic.19
2. Объединение множеств АUВ Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элемен
2. Объединение множеств АUВ Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, АUВ=? АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}.
Pic.20
Свойства объединения XUY= YUY- коммутативность; (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ – ассоциативность; XU = X;
Свойства объединения XUY= YUY- коммутативность; (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ – ассоциативность; XU = X; XUI = I.
Pic.21
3. Разность множеств А\ В Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В. Например, А
3. Разность множеств А\ В Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В. Например, А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}, А\ В={2; 4; 6; 8}.
Pic.22
Свойства операции разности А\В ≠ В\А; А\А=∅; А\∅=А; I\А= Ā.
Свойства операции разности А\В ≠ В\А; А\А=∅; А\∅=А; I\А= Ā.
Pic.23
4. Дополнение множеств Ā Дополнением множества А называется разность I \ А. То есть, дополнением мно
4. Дополнение множеств Ā Дополнением множества А называется разность I \ А. То есть, дополнением множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества, не принадлежащих множеству А. Например, А = {3; 6; 9; 12} и I =N= {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}, Ā=? Ā = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; …}.
Pic.24
Свойства дополнения 1. Множество X и его дополнение не имеют общих элементов 2. Любой элемент I прин
Свойства дополнения 1. Множество X и его дополнение не имеют общих элементов 2. Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению. 3. Закон двойного отрицания
Pic.25
Декартово произведение множеств
Декартово произведение множеств
Pic.26
Декартово произведение множеств
Декартово произведение множеств
Pic.27
Определение декартова произведения Декартовым (или прямым) произведением А×В множества А на множеств
Определение декартова произведения Декартовым (или прямым) произведением А×В множества А на множество В называется множество всех упорядоченных пар, в которых первая компонента – элемент множества А, а вторая – элемент множества В. А×В={(x, y) |x∈A, y∈B}. Количество элементов в декартовом произведении двух множеств: если m(А)=n, m(B)=k, то m(А×В)=n⋅k.
Pic.28
Пример декартова произведения Вычислить количество двухзначных чисел. Двухзначное число можно принят
Пример декартова произведения Вычислить количество двухзначных чисел. Двухзначное число можно принять за упорядоченную пару, где на первом месте может стоять цифра из множества А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а на втором – из множества В={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, т. е. за элемент прямого произведения этих множеств, тогда получаем: m(А)=9, m(B)=10, то m(А×В)=9⋅10=90. Итак, всего имеется 90 различных двухзначных чисел.
Pic.29
Соответствие множеств Определение. Будем говорить, что между элементами двух множеств А и В установл
Соответствие множеств Определение. Будем говорить, что между элементами двух множеств А и В установлено соответствие ρ, если в их произведении А×В выделено некоторое подмножество Ω. Если пара (a,b)∈Ω⊆Α×Β, это означает по определению, что элементы a и b множеств А и В находятся в отношении ρ (пишется aρb). Пример соответствия. Пусть даны множества А – студентов и В – множество групп. Утверждение “студент a учится в группе b” задает соответствие между множеством студентов и множеством групп. Здесь а пробегает множество значений А, b – множество значений В. Такое соотношение называется бинарным соответствием, т. е. соответствием между двумя множествами А и В.
Pic.30
Пример соответствия множеств
Пример соответствия множеств
Pic.31
Отображение множеств f: X→Y
Отображение множеств f: X→Y
Pic.32
Сюръективное отображение
Сюръективное отображение
Pic.33
Инъективное отображение
Инъективное отображение
Pic.34
Взаимно-однозначное соответствие
Взаимно-однозначное соответствие
Pic.35
Задания
Задания
Pic.36
Задание 1 1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 8797; в) 1100
Задание 1 1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555. 2) Задайте множество А описанием: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }. 3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7}, S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно? а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.
Pic.37
Задание 2 1. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 – натуральное; б) чи
Задание 2 1. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 – натуральное; б) число – 7 не является натуральным; в) число – 100 является целым; г) число 2,5 – не целое. 2. Верно ли, что: а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2,(45) Q? 3. Верно ли, что: а) 0,7 {х | х2 – 1 < 0}; б) – 7 {х | х2 + 16х ≤ - 64}?
Pic.38
Задание 3 1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте
Задание 3 1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А … D; б) А … В; в) С … А; г) С … В. 2. Даны три множества А = {1, 2, 3, …, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16, …, 36}. Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?
Pic.39
Задание 4 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) А∩В; 2) А∩С;
Задание 4 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) А∩В; 2) А∩С; 3) С∩В. 2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}. Найдите А∩В. 3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите (А∩В)∩С.
Pic.40
Задание 5 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) АUВ; 2) АUС;
Задание 5 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ. 2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите (АUВ)UС.
Pic.41
Решение задач с помощью кругов Эйлера ЭЙЛЕР Леонард (1707-1783), российский ученый — математик, меха
Решение задач с помощью кругов Эйлера ЭЙЛЕР Леонард (1707-1783), российский ученый — математик, механик, физик и астроном.
Pic.42
Задача 1 Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.
Задача 1 Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.
Pic.43
Задача 2 Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Ск
Задача 2 Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?
Pic.44
Задача 3 Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вм
Задача 3 Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?
Pic.45
Задача 4 На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, и
Задача 4 На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?
Pic.46
Задача 5 Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные
Задача 5 Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?
Pic.47
Задача 6 Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спе
Задача 6 Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?
Pic.48
Задача 7 В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадио
Задача 7 В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион-3; цирк и стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?
Pic.49
Задача 8 В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню;
Задача 8 В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
Pic.50
Задача 9 На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 –го класса читал книги А, В,
Задача 9 На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 –го класса читал книги А, В, С. Результаты опроса выглядели так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В – 22 ученика, книгу С – 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С – 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две книги; в) не прочили ни одной из указанных книг?
Pic.51
Задача 9. Решение а) Ответ: 15 учеников б) в) Ответ: 12 учеников Ответ: 3 ученика
Задача 9. Решение а) Ответ: 15 учеников б) в) Ответ: 12 учеников Ответ: 3 ученика
Pic.52
Задача 10 На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в
Задача 10 На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4. Сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Pic.53
Литература [1] Алгебра, 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /
Литература [1] Алгебра, 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова и др. ] -12-е изд. , испр. - М. : Мнемозина, 2010. [2] Занимательная математика. 5 – 11 классы. Авт. - сост. Т. Д. Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2005. – 96 с. [3] Математика 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др. /; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 11 –е изд. - М. : Просвещение, 2010. – 303 с. : ил.
Pic.54
Связь между алгеброй логики и теорией множеств Дело в том, что термин алгебра в своем роде имя нариц
Связь между алгеброй логики и теорией множеств Дело в том, что термин алгебра в своем роде имя нарицательное. Под ним понимается раздел математики, изучающий алгебраические операции, а природа объектов, к которым применяются эти операции, не важна. Говоря об алгебре логики или об алгебре множеств, мы более всего уделяли внимание операциям, определенным над допустимыми в данной теории объектами, свойствам этих операций. Еще одним хорошо известным вам примером алгебры, является алгебра чисел, к которой все выписанные законы также применимы. Проводя аналогии между этими алгебрами, мы можем сказать
Pic.55
Множества. Операции над множествами, слайд 55
Pic.56
Решение 1.
Решение 1.
Pic.57
Решение 2.
Решение 2.
Pic.58
№6
№6
Pic.59
Решение.
Решение.
Pic.60
Множества. Операции над множествами, слайд 60
Pic.61
Множества. Операции над множествами, слайд 61


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!