Слайды и текст доклада
Pic.1
§ Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если …
Pic.2
Гипотеза: Если изменим радиус окружности вдоль оси ординат путём сжатия, то получим эллипс.
Pic.4
Построение графика эллипса Пусть, например, на эллипсе взяты точки M1, M2, M3, M4 и т. д. (рис. 1). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать: F1M1 + FM1 = …
Pic.5
1. Эллипс и окружность ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и …
Pic.6
уравнение эллипса. 3. Построим эллипс.
Pic.7
Уравнение (1): Уравнение (1):
Pic.8
СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=a, y=b. 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр …
Pic.10
Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина …
Pic.11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т. е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния …
Pic.12
2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид 2) Если выбрать систему координат так, …
Pic.13
Точки пересечения эллипса с осями Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть у=0; тогда имеем: . Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (-а; 0) …
Pic.19
2. Гипербола ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и …
Pic.20
Уравнение (2): Уравнение (2):
Pic.21
СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x=a. 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр …
Pic.22
Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат. Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние …
Pic.24
Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы. Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы. Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – …
Pic.25
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т. е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного …
Pic.26
Замечания. Замечания. 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной. Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны. можно выбрать систему координат так, чтобы …
Pic.27
2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид 2) Если выбрать систему координат так, …
Pic.28
3. Парабола Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой ℓ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от …
Pic.29
Уравнение (4): y2 = 2px называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.
Pic.30
СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем:
Pic.31
СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем:
Pic.32
Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы, Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы, Число p называется параметром параболы. Если …
Pic.33
Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково. …
Pic.34
Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и …
Pic.35
4. Координаты точки в разных системах координат Получаем:
Pic.36
5. Общее уравнение кривой второго порядка Рассмотрим уравнение Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (13) С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) может быть приведено к виду:
Pic.37
Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно: Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) …
Pic.38
6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы. ri = | MFi | , di = d(M,ℓi) ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство
Pic.39
7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы Получаем: α = β . С физической точки зрения это означает: 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, …
Pic.40
§ Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – …
Pic.41
1. Эллипсоид ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
Pic.42
Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным. Если две из трех полуосей равны, …
Pic.43
Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой. Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой. Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде x2 + y2 + z2 = r2, …
Pic.44
2. Гиперболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
Pic.45
Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью …
Pic.46
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению ОПРЕДЕЛЕНИЕ. …
Pic.47
Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью …
Pic.48
3. Конус ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
Pic.49
Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса. Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса. Если a=b, то …
Pic.50
4. Параболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
Pic.51
Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида. Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида. Если a=b, то …
Pic.52
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению ОПРЕДЕЛЕНИЕ. …
Pic.53
Величины a и b называются параметрами параболоида. Величины a и b называются параметрами параболоида.
Pic.54
5. Цилиндры ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой …
Pic.55
Цилиндр Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в которое не входит одна из координат. Кривая, которую определяет это уравнение в соответствующей координатной плоскости, …
Скачать презентацию
Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!