Презентация - Геометрические основы компьютерной графики

Смотреть слайды в полном размере
Презентация Геометрические основы компьютерной графики


Вашему вниманию предлагается презентация на тему «Геометрические основы компьютерной графики», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 46 слайдов и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 311.00 KB

Просмотреть и скачать

Pic.1
Геометрические основы компьютерной графики Лекция 3
Геометрические основы компьютерной графики Лекция 3
Pic.2
Система координат (СК) Для перехода от зрительных геометрических образов к математическому описанию
Система координат (СК) Для перехода от зрительных геометрических образов к математическому описанию формы объектов и их взаимного расположения необходимо выполнить арифметизацию пространства Это достигается путем введением системы координат
Pic.3
Системы координат Введение системы координат сводится к установлению способа сопоставления каждой то
Системы координат Введение системы координат сводится к установлению способа сопоставления каждой точке пространства набора вещественных чисел – координат этой точки Точка пространства  Набор вещественных чисел (координат точки)
Pic.4
Размерность пространства Число координат в таком наборе определяется размерность пространства Обычно
Размерность пространства Число координат в таком наборе определяется размерность пространства Обычно рассматривают двумерные (2D) пространства на различных поверхностях и трехмерное (3D) пространство
Pic.5
Геометрия на плоскости В 2D-пространствах графическими элементами являются точки и линии, в 3D-прост
Геометрия на плоскости В 2D-пространствах графическими элементами являются точки и линии, в 3D-пространствах к ним добавляются поверхности Простейшей формой поверхности является плоскость. Для описания геометрических объектов на плоскости используют декартову и полярную системы координат
Pic.6
Декартовы и полярные координаты Координаты (x,y) и (r,) в этих системах связаны соотношениями:
Декартовы и полярные координаты Координаты (x,y) и (r,) в этих системах связаны соотношениями:
Pic.7
Точки и линии на плоскости Введем обозначение для точки на плоскости: p = (x, y)  (r,) Взаимосвязь
Точки и линии на плоскости Введем обозначение для точки на плоскости: p = (x, y)  (r,) Взаимосвязь между координатами точек линии может быть задана в виде неявного уравнения f(p)=0 параметрической функции p(t)
Pic.8
Координатная и векторная формы Эти соотношения могут быть записаны в координатной или в векторной фо
Координатная и векторная формы Эти соотношения могут быть записаны в координатной или в векторной форме Векторная форма записи более компактна, а координатная более удобна для проведения вычислений
Pic.9
Расстояние между точками Расстояние d между двумя точками и в декартовых координат выражается формул
Расстояние между точками Расстояние d между двумя точками и в декартовых координат выражается формулой: В полярных координатах это расстояние определяется формулой:
Pic.10
Способы описания линии Уравнение линии в неявной форме имеет вид: Параметрическая функция для линии:
Способы описания линии Уравнение линии в неявной форме имеет вид: Параметрическая функция для линии:
Pic.11
Уравнение прямой Для прямой линии неявное уравнение имеет вид: где коэффициенты A и B одновременно н
Уравнение прямой Для прямой линии неявное уравнение имеет вид: где коэффициенты A и B одновременно не равны 0 Прямая может быть задана координата-ми одной из своих точек p0 и вектором нормали
Pic.12
Уравнение прямой В этом случае неявное уравнение прямой записывается в нормальной форме: Для задания
Уравнение прямой В этом случае неявное уравнение прямой записывается в нормальной форме: Для задания прямой вместо вектора нормали можно использовать вектор, направленный вдоль прямой - направля-ющий вектор
Pic.13
Параметрическая функция прямой В этом случае для описания прямой удобно использовать параметрическую
Параметрическая функция прямой В этом случае для описания прямой удобно использовать параметрическую функцию, которая имеет вид: Направляющий вектор начинается в точке p0 и направлен в сторону увеличения значений параметра t
Pic.14
Связь нормали и направляющего вектора Из условия ортогональности векторов N и V следует, что Компоне
Связь нормали и направляющего вектора Из условия ортогональности векторов N и V следует, что Компоненты нормали и направляющего вектора можно выразить через коэффициенты неявного уравнения прямой:
Pic.15
Отрезки и лучи Параметрическая функция удобна для построения частей прямой – отрезков и лучей (- &l
Отрезки и лучи Параметрическая функция удобна для построения частей прямой – отрезков и лучей (- < t < ), протяженность прямой не ограничена; ( t≥ 0), луч, выходящий из точки p0 в направлении вектора V; (t1 t  t2),, отрезок прямой между точками p0+V*t1 и p0+V*t2.
Pic.16
Линеаризация кривой Для произвольной линии на плоскости в любой регулярной (гладкой и некратной) точ
Линеаризация кривой Для произвольной линии на плоскости в любой регулярной (гладкой и некратной) точке возможна линеаризация, т. е. построение касательной прямой
Pic.17
Уравнение касательной Уравнение касательной удобно записать в нормальной форме c компонентами вектор
Уравнение касательной Уравнение касательной удобно записать в нормальной форме c компонентами вектора нормали вычисленными как частные производные от функции в левой части неявного уравнения:
Pic.18
Неявное уравнение касательной Такое уравнение имеет вид: Вектор нормали ортогонален касательной и на
Неявное уравнение касательной Такое уравнение имеет вид: Вектор нормали ортогонален касательной и направлен в ту сторону, где f(x,y)>0
Pic.19
Параметрическая функция касательной Для линии, заданной параметрически, можно построить параметричес
Параметрическая функция касательной Для линии, заданной параметрически, можно построить параметрическую функцию касательной с компонентами направляющего вектора:
Pic.20
Способы описания кривых Выбор между описанием линии с помощью уравнения или с помощью параметрически
Способы описания кривых Выбор между описанием линии с помощью уравнения или с помощью параметрических функций определяется характером решаемой задачи При построении линий удобно использовать их параметрическое представление, либо, явную форму уравнения y = f(x)
Pic.21
Способы описания кривых Анализ свойств кривых и вычисление координат точек их пересечения удобно про
Способы описания кривых Анализ свойств кривых и вычисление координат точек их пересечения удобно проводить с использованием явных и неявных уравнений В целом же параметрическое описание является более универсальным и для большого класса кривых оно является единственно возможным
Pic.22
Параметрические кривые Такие кривые называются параметрическими Примеры параметрических кривых: фигу
Параметрические кривые Такие кривые называются параметрическими Примеры параметрических кривых: фигуры Лиссажу x = cos(wx*t+wx0), y = sin(wy*t+wy0); спираль Архимеда x = (r0+r1*t) * cos(wx*t+wx0), y = (r0+r1*t) * sin(wy*t+wy0);
Pic.23
Параметрические кривые спираль Бернулли x = r0*exp(r1*t) * cos(wx*t+wx0), y = r0*exp(r1*t) * sin(wy*
Параметрические кривые спираль Бернулли x = r0*exp(r1*t) * cos(wx*t+wx0), y = r0*exp(r1*t) * sin(wy*t+wy0); параболическая спираль x = (r0+r1*sqrt(t)) * cos(wx*t+wx0), y = (r0+r1*sqrt(t)) * sin(wy*t+wy0);
Pic.24
Параметрические кривые циклоида x = r0*exp(r1*t) * cos(wx*t+wx0), y = r0*exp(r1*t) * sin(wy*t+wy0);
Параметрические кривые циклоида x = r0*exp(r1*t) * cos(wx*t+wx0), y = r0*exp(r1*t) * sin(wy*t+wy0); улитка Паскаля x=(r0*cos(t)+r1) * cos(wx*t+wx0), y=(r0*cos(t)+r1) * sin(wy*t+wy0);
Pic.25
Параметрические кривые трисектрисса x = (r0*cos(t)-r1/cos(t)) * cos(wx*t+wx0), y = (r0*cos(t)-r1/cos
Параметрические кривые трисектрисса x = (r0*cos(t)-r1/cos(t)) * cos(wx*t+wx0), y = (r0*cos(t)-r1/cos(t)) * sin(wy*t+wy0);
Pic.26
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Pic.27
СК в компьютерной графике В компьютерной графике используются три системы координат: неподвижная мир
СК в компьютерной графике В компьютерной графике используются три системы координат: неподвижная мировая система координат (МСК); подвижная объектная система координат (ОСК), связанная с объектом; экранная система координат (ЭСК).
Pic.28
МСК и OСК в 2D-пространстве
МСК и OСК в 2D-пространстве
Pic.29
Сцена Сценой называется система объектов, изображение которой должно быть воспроизведено средствами
Сцена Сценой называется система объектов, изображение которой должно быть воспроизведено средствами компьютерной графики Сцена является ограниченной областью пространства
Pic.30
Координаты точки в МСК и ОСК Пусть некоторой точке P сцены в МСК соответствуют координаты (x,y), а в
Координаты точки в МСК и ОСК Пусть некоторой точке P сцены в МСК соответствуют координаты (x,y), а в ОСК – координаты (x,y) Если угол поворота ОСК относительно МСК равен φ, а начало ОСК расположено в точке (x0,y0), то
Pic.31
Обратное преобразование Обратное преобразование имеет вид: В общем случае, переход от МСК к ОСК вклю
Обратное преобразование Обратное преобразование имеет вид: В общем случае, переход от МСК к ОСК включает в себя два действия – поворот на угол  и сдвиг в направлении вектора (x0,y0).
Pic.32
Интерпретация преобразований Эти преобразования можно интерпретировать двояко: как изменение координ
Интерпретация преобразований Эти преобразования можно интерпретировать двояко: как изменение координат некоторой фиксированной точки сцены при изменении системы координат; как изменение точки сцены, находящейся в данной точке пространства, при использовании фиксированной системы координат
Pic.33
Интерпретация преобразований В первом случае говорят об изменении координат данной точки сцены Во вт
Интерпретация преобразований В первом случае говорят об изменении координат данной точки сцены Во втором случае – о перемещении объекта, приводящем к появлению в данной точке пространства другой его точки
Pic.34
Аффинное преобразование В любом случае это отображение является линейным и может быть обобщено следу
Аффинное преобразование В любом случае это отображение является линейным и может быть обобщено следующим образом:
Pic.35
Условие обратимости Для обеспечения обратимости аффинного преобразования его коэффициенты должны быт
Условие обратимости Для обеспечения обратимости аффинного преобразования его коэффициенты должны быть связаны соотношением:
Pic.36
Базовые преобразования Теорема. Любое аффинное преобразование можно представить как суперпозицию пов
Базовые преобразования Теорема. Любое аффинное преобразование можно представить как суперпозицию поворота, растяжения, отражения и переноса Перечисленные преобразования являются базовыми и могут быть представлены соответствующими матрицами
Pic.37
Преобразование поворота Имеет вид Задается матрицей
Преобразование поворота Имеет вид Задается матрицей
Pic.38
Преобразование растяжения Имеет вид Задается матрицей
Преобразование растяжения Имеет вид Задается матрицей
Pic.39
Преобразование отражения Имеет вид (относительно оси абсцисс) Задается матрицей
Преобразование отражения Имеет вид (относительно оси абсцисс) Задается матрицей
Pic.40
Преобразование переноса Имеет вид Задается вектором
Преобразование переноса Имеет вид Задается вектором
Pic.41
Общее преобразование Произвольное аффинное преобразование можно представить в виде: где p = [x, y] –
Общее преобразование Произвольное аффинное преобразование можно представить в виде: где p = [x, y] – векторное представление точки
Pic.42
Однородные координаты Данное преобразование является неоднородным, т. к. преобразование переноса вып
Однородные координаты Данное преобразование является неоднородным, т. к. преобразование переноса выполняется аддитивно Для обеспечения его однородности вводят однородные координаты точки
Pic.43
Однородные координаты Однородными координатами точки p = [x, y] называется такая тройка чисел x1, x2
Однородные координаты Однородными координатами точки p = [x, y] называется такая тройка чисел x1, x2, x3, что и x3 ≠ 0
Pic.44
Однородные координаты Обычно полагают x3 = 1, и тогда в однородных координатах вектор точки имеет ви
Однородные координаты Обычно полагают x3 = 1, и тогда в однородных координатах вектор точки имеет вид: p = [x, y, 1]
Pic.45
Матрицы преобразований
Матрицы преобразований
Pic.46
Конец лекции
Конец лекции


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!