Презентация Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Смотреть слайды в полном размере
Презентация Формула Тейлора для функции нескольких переменных


Вашему вниманию предлагается презентация «Формула Тейлора для функции нескольких переменных», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 17 слайдов и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 1.09 MB

Просмотреть и скачать

Pic.1
Лекция 4. 5 Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольки
Лекция 4. 5 Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных, условия его существования и методы поиска.
Pic.2
Формула Тейлора для функции нескольких переменных. ТЕОРЕМА. Пусть функция z = f(x, y) имеет в окрест
Формула Тейлора для функции нескольких переменных. ТЕОРЕМА. Пусть функция z = f(x, y) имеет в окрестности точки M0(х0,y0) непрерывные производные до n-ого порядка включительно. Тогда для любой точки M(х, y) из этой окрестности справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
Pic.3
Доказательство. Доказательство. Точки, лежащие на отрезке М0М, имеют координаты х = х0 + tΔx, y = y0
Доказательство. Доказательство. Точки, лежащие на отрезке М0М, имеют координаты х = х0 + tΔx, y = y0 + tΔy, причем 0  t  1. Тогда φ ( t ) = f (х0 + tΔx, y0 + tΔy) – n раз непрерывно дифференцируемая сложная функция от t, причем φ (0) = f ( х0, y0 ), φ (1) = f (х0 + Δx, y0 + Δy).
Pic.4
Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим: Применяя правило нахождения произв
Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим: Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим: Аналогично По индукции получим, что
Pic.5
Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа: Запишем для функции φ(t) форму
Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа: Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа: Полагая t = 1, получим Заметим, что Итак
Pic.6
ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. При соблюдении условий теоремы имеет место также формула Тейлора с остаточным
ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. При соблюдении условий теоремы имеет место также формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
Pic.7
Локальные экстремумы функции нескольких переменных. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция u = f(х1, х2, . . . х
Локальные экстремумы функции нескольких переменных. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция u = f(х1, х2, . . . хm) определена в области G Rm. Точка М0G называется точкой локального максимума (минимума) функции f(М), если найдется такая -окрестность точки М0, что для всех точек М, принадлежащих этой окрестности, выполнено неравенство f(М) – f(М0)  0 (  0). ПРИМЕР.
Pic.8
Необходимое условие экстремума. Необходимое условие экстремума. ТЕОРЕМА. Если в точке экстремума М0
Необходимое условие экстремума. Необходимое условие экстремума. ТЕОРЕМА. Если в точке экстремума М0 функции f(М) существует частная производная по какой-либо переменной, то эта производная равна нулю. Доказательство. Докажем теорему для функции двух переменных f(x, y). Пусть М0(х0, у0) – ее точка локального экстремума. Пусть существует, например, fx (х0, у0). Введем вспомогательную функцию  (x) = f (x, у0). Точка х0 является ее точкой экстремума, следовательно по теореме Ферма  (x0) = fx (х0, у0) = 0 , ч. т. д. СЛЕДСТВИЕ. Если в точке экстремума М0 функция f(М) дифференцируема, то df(М0) = 0.
Pic.9
ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке М0 функция f(М) дифференцируема и df(М0) = 0, то М0 называется ст
ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке М0 функция f(М) дифференцируема и df(М0) = 0, то М0 называется стационарной точкой. Точки экстремума следует искать среди стационарных точек. Но не всякая стационарная точка будет точкой экстремума. ПРИМЕР.
Pic.10
Достаточные условия экстремума. Достаточные условия экстремума. ТЕОРЕМА. Пусть функция f(M) имеет в
Достаточные условия экстремума. Достаточные условия экстремума. ТЕОРЕМА. Пусть функция f(M) имеет в окрестности точки M0 непрерывные частные производные второго порядка и пусть df(M0) = 0. Тогда если d2f(M0) – положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма, то M0 – точка локального минимума (максимума), если d2f(M0) – неопределенная квадратичная форма, то M0 не является точкой экстремума. Доказательство. Приведем доказательство для функции двух переменных f(x, y). По формуле Тейлора второго порядка с остаточным членом Пеано имеем
Pic.11
Так как по условию теоремы df(х0,y0) = 0 , то полное приращение функции в критической точке Так как
Так как по условию теоремы df(х0,y0) = 0 , то полное приращение функции в критической точке Так как по условию теоремы df(х0,y0) = 0 , то полное приращение функции в критической точке Пусть для определенности d2f(M0) – положительно определенная квадратичная форма. Тогда при всех значениях , не равных нулю одновременно.
Pic.12
В нашем случае переменные связаны соотношением В нашем случае переменные связаны соотношением и поэт
В нашем случае переменные связаны соотношением В нашем случае переменные связаны соотношением и поэтому одновременно не равны нулю. Квадратичная форма – непрерывная функция двух переменных, принимающая только положительные значения и заданная на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Поскольку эта окружность есть компакт, то функция достигает на нем своей точной нижней грани m. Таким образом для всех значений аргументов, удовлетворяющих условию ( * ), а Следовательно в достаточно малой окрестности точки М0 выполняется неравенство f(M) – f(M0) > 0, то есть М0 – точка локального минимума.
Pic.13
СЛЕДСТВИЕ. СЛЕДСТВИЕ. Пусть z = f(x, y), M0(х0, у0) – стационарная точка этой функции. Исследуем вто
СЛЕДСТВИЕ. СЛЕДСТВИЕ. Пусть z = f(x, y), M0(х0, у0) – стационарная точка этой функции. Исследуем второй дифференциал функции в стационарной точке Воспользуемся критерием Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. В нашем случае Возможные возникающие здесь ситуации сведем в таблицу:
Pic.14
Формула Тейлора для функции нескольких переменных, слайд 14
Pic.15
ПРИМЕР. ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум функцию z = x3 + 3xy2 – 39x – 36y + 26. Найдем ча
ПРИМЕР. ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум функцию z = x3 + 3xy2 – 39x – 36y + 26. Найдем частные производные первого порядка zx = 3x2 + 3y2 – 39; zy = 6xy – 36. Для нахождения стационарных точек функции получим систему уравнений: M1(3, 2), M2(– 3, – 2), M3(2, 3), M4(–2, –3). Вычислим второй дифференциал функции d2f(x, y) = 6xdx2 +26ydxdy + 6xdy2. Матрица квадратичной формы в данном случае имеет вид:
Pic.16
Ее главные миноры равны: Ее главные миноры равны:
Ее главные миноры равны: Ее главные миноры равны:
Pic.17
Спасибо за внимание!
Спасибо за внимание!


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!