Презентация - Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности

Смотреть слайды в полном размере
Презентация Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности


Вашему вниманию предлагается презентация на тему «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 27 слайдов и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 2.62 MB

Просмотреть и скачать

Pic.1
Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §54. Случайные собы
Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §54. Случайные события и их вероятности 2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.
Pic.2
Содержание ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В. ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А
Содержание ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В. ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В. Решение 3а); Решение 3б); Решение 3в); Решение 3г). Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица). ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B). Доказательство теоремы 1.
Pic.3
ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ Часть 2.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ Часть 2.
Pic.4
Независимость событий В примере 2 мы говорили о сумме несовместных событий. А как найти вероятность
Независимость событий В примере 2 мы говорили о сумме несовместных событий. А как найти вероятность Р(А + В) для событий, которые могут наступать одновременно? Для ответа на такой вопрос необходима не только сама сумма А + В событий А и В, но и их произведение.
Pic.5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В Определение 1. Произведением событий А и В называют событи
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В Определение 1. Произведением событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и событие А, и событие В. Оно обозначается АВ или АВ.
Pic.6
ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А
ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р. , В — цена товара не больше 110 р. ; б) А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 < 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11.
Pic.7
Решение примера 3а) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара
Решение примера 3а) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р. , В — цена товара не больше 110 р. ; Решение: а) Одновременное наступление событий А и В означает, что для цены S товара верно двойное неравенство 100 < S < 110.
Pic.8
Решение примера 3б) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: б) А — завтра пятни
Решение примера 3б) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: б) А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; Решение: б) Одновременное наступление событий А и В означает, что завтра — пятница, 13-е число.
Pic.9
Решение примера 3в) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: в) А — координаты с
Решение примера 3в) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 ≤ 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; Решение: в) Геометрически событие А означает, что точка выбрана в единичном круге {(x; у) | х2 + у2 ≤ 1}, а событие В означает, что она выбрана в первой координатной четверти. Значит, одновременное наступление А и В означает, что точка выбрана в той четверти единичного круга, которая расположена выше оси абсцисс и правее оси ординат (рис. 242).
Pic.10
Решение примера 3г) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: г) А — случайно выб
Решение примера 3г) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11. Решение: г) Четные двузначные числа составляют множество {10, 12, 14, . . . , 94, 96, 98}. Двузначные числа, которые делятся на 11, составляют множество {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Одновременное наступление событий А и В означает, что выбранное число принадлежит и множеству {10, 12, 14, . . . , 94, 96, 98} и множеству {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Значит, событие АВ состоит в том, что выбранное число принадлежит пересечению указанных множеств, т. е. множеству {22, 44, 66, 88}. Всего 4 случая.
Pic.11
Произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств Мы видим, что произведение АВ событий
Произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств Мы видим, что произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств, соответствующих событиям А и В. В курсе алгебры 9-го класса мы говорили о связи между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств и составили соответствующую таблицу. Дополним ее новыми связями.
Pic.12
Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица)
Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица)
Pic.13
ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B). ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей дву
ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B). ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий. Р(А) + Р(В) = Р(АВ) + Р(А + В).
Pic.14
Доказательство теоремы 1 Пусть А1 — событие, состоящее в том, что наступает А, но не наступает В. Со
Доказательство теоремы 1 Пусть А1 — событие, состоящее в том, что наступает А, но не наступает В. Согласно опр. 1 АВ — событие, состоящее в том, что наступают А и В. Значит, события А1 и АВ несовместны, а их сумма равна А. Поэтому Р(А)=Р(А1)+Р(АВ). Аналогично обозначим через В1 событие, состоящее в том, что наступает В, но не наступает А. Тогда события В1 и АВ несовместны, а их сумма равна В. Значит, Р(А) = Р(А1) + Р(АВ). Сложим эти равенства: Р(А)+Р(В) = (Р(А1)+Р(АВ))+Р(В1)+Р(АВ)) = Р(АВ)+(Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)). События А, АВ, В1 попарно несовместны, а их сумма равна А+В. Значит, Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)=Р(А+В), и поэтому Р(А)+Р(В) = Р(АВ)+Р(А+В). •
Pic.15
Для несовместных событий А и В Для несовместных событий А и В доказанная теорема приводит к уже изве
Для несовместных событий А и В Для несовместных событий А и В доказанная теорема приводит к уже известным формулам. Действительно, несовместность событий А и В означает, что событие АВ невозможно, т. е. Р(АВ)=0. Тогда Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В)= Р(А+В). В частности, так как событие А + Ᾱ всегда достоверно, то Р(А) +Р(Ᾱ)= Р(А + Ᾱ) = 1; Р(Ᾱ) = 1 - Р(А).
Pic.16
Формулу Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) применяют к независимым событиям А и В При решении практических задач
Формулу Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) применяют к независимым событиям А и В При решении практических задач формулу Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В) чаще всего записывают в виде Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) и применяют ее к независимым событиям А и В. Это понятие является одним из важнейших в теории вероятностей. Определение независимости двух событий напоминает правило умножения.
Pic.17
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми… Определение 2. События А и В называют независи
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми… Определение 2. События А и В называют независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В). Не следует путать несовместность событий А и В и их независимость. Напомним, что несовместность событий А и В означает, что соответствующие множества исходов испытания не пересекаются. К сожалению, понятие независимости не имеет никакого наглядного смысла. В практических задачах независимость событий, как правило, подразумевается в условиях задачи и обосновывается независимостью проводимых испытаний.
Pic.18
ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Теорема 2. Вероя
ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Теорема 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). Доказательство. По теореме 1 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). Независимость А и Б означает, что Р(АВ) = Р(А)Р(В). Значит, Р(А + Б) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). •
Pic.19
ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют Пример 4. Два стрелка независимо друг от дру
ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена дважды; б) не будет поражена ни разу; в) будет поражена хотя бы один раз; г) будет поражена ровно один раз.
Pic.20
Решение примера 4а) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень.
Решение примера 4а) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена дважды; Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень, В — событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень. По условию Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,3, а А и В независимы. а) Мишень будет поражена дважды, если одновременно произошли оба события А и В, т. е. произошло событие АВ. Поэтому Р(АВ) = Р(А)Р(В) = = 0,90,3 = 0,27.
Pic.21
Решение примера 4б) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень.
Решение примера 4б) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена ни разу; Решение:
Pic.22
Решение примера 4в) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень.
Решение примера 4в) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: в) будет поражена хотя бы один раз; Решение: в) Мишень будет поражена, если произошло или А, или В, т. е. произошло событие А + В. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = 0,9 + 0,3 - 0,27 = 0,93.
Pic.23
Решение примера 4г) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень.
Решение примера 4г) Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: г) будет поражена ровно один раз. Решение: г) Мишень будет поражена ровно один раз, если произошло событие А + В, но не произошло событие АВ. Поэтому искомая вероятность равна Р(А+В)-Р(АВ)= 0,93-0,27 = 0,66.
Pic.24
Для учителя
Для учителя
Pic.25
Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд 25
Pic.26
Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности, слайд 26
Pic.27
Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.
Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А. Г. Мордкович, М. , 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А. Г. Мордкович, П. В. Семенов, М. , 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel. Интернет-ресурсы


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!