Презентация - Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Смотреть слайды в полном размере
Презентация Действия над комплексными числами в алгебраической форме


Вашему вниманию предлагается презентация на тему «Действия над комплексными числами в алгебраической форме», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 42 слайда и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 637.00 KB

Просмотреть и скачать

Pic.1
Действия над комплексными числами в алгебраической форме. 1. Два комплексных числа и равны тогда и т
Действия над комплексными числами в алгебраической форме. 1. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда и , т. е. когда равны и действительные и мнимые части комплексных чисел.
Pic.2
Замечание Понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяются. Записи , и им подобные л
Замечание Понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяются. Записи , и им подобные лишены всякого смысла.
Pic.3
Формула сложения комплексных чисел в новых обозначениях записывается так: . (1) Она дает правило сло
Формула сложения комплексных чисел в новых обозначениях записывается так: . (1) Она дает правило сложения комплексных чисел в алгебраической форме.
Pic.4
Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом: . (2)
Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом: . (2)
Pic.5
Положив в этой формуле , , получим важное соотношение
Положив в этой формуле , , получим важное соотношение
Pic.6
или, применяя для произведения сокращенное обозначение , имеем: .
или, применяя для произведения сокращенное обозначение , имеем: .
Pic.7
Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и . Решение. , .
Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и . Решение. , .
Pic.8
Определение 1. Комплексное число называется сопряженным к числу и обозначается .
Определение 1. Комплексное число называется сопряженным к числу и обозначается .
Pic.9
Утверждение. Для любых комплексных чисел имеют место равенства: 1) , 2) , 3) , 4) . Все равенства до
Утверждение. Для любых комплексных чисел имеют место равенства: 1) , 2) , 3) , 4) . Все равенства доказываются непосредственной проверкой.
Pic.10
Деление комплексных чисел в алгебраической форме производится согласно следующей формуле: .
Деление комплексных чисел в алгебраической форме производится согласно следующей формуле: .
Pic.11
Произведем преобразование другим способом. Умножим числитель и знаменатель на , получим:
Произведем преобразование другим способом. Умножим числитель и знаменатель на , получим:
Pic.12
Другими словами, чтобы найти частное двух комплексных чисел надо числитель и знаменатель умножить на
Другими словами, чтобы найти частное двух комплексных чисел надо числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю.
Pic.13
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Возьмем на плоскости декартову систему координат XOY
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Возьмем на плоскости декартову систему координат XOY и изобразим комплексное число точкой плоскости с координатами
Pic.14
В итоге комплексному числу будет сопоставлена точка М плоскости. Соответствие между комплексными чис
В итоге комплексному числу будет сопоставлена точка М плоскости. Соответствие между комплексными числами и точками координатной плоскости XOY биективно, поэтому иногда множество комплексных чисел отождествляют с множеством точек координатной плоскости.
Pic.15
Определение 2. Расстояние от точки О координатной плоскости XOY до точки М, изображающей комплексное
Определение 2. Расстояние от точки О координатной плоскости XOY до точки М, изображающей комплексное число , называют модулем числа и обозначают в виде .
Pic.16
Определение 2. Наименьший угол, на который нужно повернуть ось ОХ против часовой стрелки до совпаден
Определение 2. Наименьший угол, на который нужно повернуть ось ОХ против часовой стрелки до совпадения ее направления с направлением вектора ОМ, называется аргументом числа и обозначается в виде . Для аргумент не определяется.
Pic.17
Определение 2. Непосредственно из рисунка видно, что модуль числа находится по формуле:
Определение 2. Непосредственно из рисунка видно, что модуль числа находится по формуле:
Pic.18
Аргумент числа определяется из формулы при ;
Аргумент числа определяется из формулы при ;
Pic.19
определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного : , где есть главное значение , опр
определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного : , где есть главное значение , определяемое условиями
Pic.20
Действия над комплексными числами в алгебраической форме, слайд 20
Pic.21
Из изображения комплексного числа следует, что , , и, следовательно, .
Из изображения комплексного числа следует, что , , и, следовательно, .
Pic.22
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой комплексного числа.
Pic.23
Теорема Для любых комплексных чисел и справедливы равенства: 1) ; 2) .
Теорема Для любых комплексных чисел и справедливы равенства: 1) ; 2) .
Pic.24
Теорема Если , то справедливо равенство: 3) . Доказательство равенств провести в качестве упражнений
Теорема Если , то справедливо равенство: 3) . Доказательство равенств провести в качестве упражнений.
Pic.25
Формула называется формулой Муавра в честь английского математика А. де Муавра (1667 – 1754).
Формула называется формулой Муавра в честь английского математика А. де Муавра (1667 – 1754).
Pic.26
Наряду с этой формулой им же была выведена и формула извлечения корня степени из комплексного числа
Наряду с этой формулой им же была выведена и формула извлечения корня степени из комплексного числа , т. е. формула нахождения всех корней уравнения относительно неизвестного x.
Pic.27
Пусть возведем обе части равенства в степень n и, воспользовавшись, формулой Муавра получим: .
Пусть возведем обе части равенства в степень n и, воспользовавшись, формулой Муавра получим: .
Pic.28
В силу равенства двух комплексных чисел получаем равенства: и или и
В силу равенства двух комплексных чисел получаем равенства: и или и
Pic.29
где k – некоторое целое число, - арифметический корень из действительного неотрицательного числа r.
где k – некоторое целое число, - арифметический корень из действительного неотрицательного числа r.
Pic.30
Таким образом, , причем .
Таким образом, , причем .
Pic.31
Пример. Найти все значения корня . Имеем в тригонометрической форме число Согласно формуле , .
Пример. Найти все значения корня . Имеем в тригонометрической форме число Согласно формуле , .
Pic.32
Получим три значения: ; ; .
Получим три значения: ; ; .
Pic.33
Переведем комплексное число, записанное в тригонометрической форме в алгебраическую форму. ;
Переведем комплексное число, записанное в тригонометрической форме в алгебраическую форму. ;
Pic.34
; ; ; ; .
; ; ; ; .
Pic.35
Поэтому
Поэтому
Pic.36
Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.
Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.
Pic.37
Пример Выразить через Имеем соотношение
Пример Выразить через Имеем соотношение
Pic.38
Возведя правую часть в 5-ую степень, получим
Возведя правую часть в 5-ую степень, получим
Pic.39
пользуемся тем, что
пользуемся тем, что
Pic.40
Из равенства чисел, получим
Из равенства чисел, получим
Pic.41
откуда мы поделили числитель и знаменатель на
откуда мы поделили числитель и знаменатель на
Pic.42
В качестве упражнения преобразовать в сумму
В качестве упражнения преобразовать в сумму


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!