Презентация - Численное дифференцирование

Численное дифференцирование Численное дифференцирование Рассмотрим функцию y=f(x). По определению производной

Численное дифференцирование Численное дифференцирование Рассмотрим функцию y=f(x). По определению производной Из определения предела получаем приближенное равенство

Численное дифференцирование Численное дифференцирование Рассмотрим функцию y=f(x). По определению производной Из определения предела получаем приближенное равенство Рассмотрим функцию y=f(x), заданную на интервале [a;b]. Разделим интервал [a;b] на n равных частей. Занумеруем полученные точки xi начиная с нулевого номера a=xo<x1< … <xn=b. Длину каждого интервала будем называть шагом h=(b-a)/n, а полученные точки {xi } и шаг h разбиением интервала [a;b].

Численное дифференцирование Численное дифференцирование Рассмотрим функцию y=f(x). По определению производной Из определения предела получаем приближенное равенство Рассмотрим функцию y=f(x), заданную на интервале [a;b]. Разделим интервал [a;b] на n равных частей. Занумеруем полученные точки xi начиная с нулевого номера a=xo<x1< … <xn=b. Длину каждого интервала будем называть шагом h=(b-a)/n, а полученные точки {xi } и шаг h разбиением интервала [a;b]. В каждой точке xi вычислим значение функции yi =f(xi ). Полученную пару (xi ; yi ) будем называть узлами функции.

По формуле приближенного значения производной (если возьмем x ; x=h) имеем: или (1)

Однако если возьмем x = – h, тогда получим Или . (2)

Аналогично взяв x = 2h, получим или (3)

Аналогично взяв x = 2h, получим или (3) Полученные формулы (1) – (3) называются соответственно правой, левой и центральной разностными формулами численного дифференцирования для первой производной.

Рассмотрим функцию y=f(x), заданную на интервале [0;1] и протабулированную с шагом 0,1. Найдем первую производную этой функции. Мы вывели для этого три различные формулы (1), (2) и (3).

Аналогично определяются разностные формулы и для старших производных. Или

Неравномерная сетка Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi ) Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой, если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj

Неравномерная сетка Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi ) Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой, если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj Тогда - правая производная, где hi=x i+1 –xi левая производная, где hi-1=xi –x i-1 центральная производная, где hi + hi-1 =x i+1 – x i-1

Неравномерная сетка Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi ) Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой, если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj Тогда - правая производная, где hi-1=x i+1 –xi

Неравномерная сетка Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi ) Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой, если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj Тогда - правая производная, где hi-1=x i+1 –xi левая производная, где hi-1=xi –x i-1

Неравномерная сетка Рассмотрим функцию y=f(x), заданную узлами Mi=(xi ; yi ) Будем говорить, что функция задана неравномерной сеткой, если hi =xi +1 – xi =/= hj=x j+1 – xj Тогда - правая производная, где hi-1=x i+1 –xi левая производная, где hi-1=xi –x i-1 центральная производная, где hi + hi-1 =x i+1 – x i-1

- правая производная, где hi-1=x i+1 –xi левая производная, где hi-1=xi –x i-1 центральная производная, где hi + hi-1 =x i+1 – x i-1 Общая формула

Пример. Пример. Рассмотрим функцию, заданную таблицей Найти Y/(0. 2) и Y//(0. 2) - Правая

Пример. Пример. Рассмотрим функцию, заданную таблицей Найти Y/(0. 2) и Y//(0. 2) - Правая Y//(0. 2)=(0. 2*0. 25 - (0. 2+0. 3)*0. 04+0. 3*0) /(0. 3*0. 2 *0. 2)=1. 67 Погрешность вычисленного значения производной зависит от шага h.