Презентация - Автоколебания в нелинейных АСУ

Смотреть слайды в полном размере
Презентация Автоколебания в нелинейных АСУ


Вашему вниманию предлагается презентация на тему «Автоколебания в нелинейных АСУ», с которой можно предварительно ознакомиться, просмотреть текст и слайды к ней, а так же, в случае, если она вам подходит - скачать файл для редактирования или печати.

Презентация содержит 34 слайда и доступна для скачивания в формате ppt. Размер скачиваемого файла: 283.00 KB

Просмотреть и скачать

Pic.1
Автоколебания – это собственные колебания в нелинейной системе, обладающие свойством устойчивости, т
Автоколебания – это собственные колебания в нелинейной системе, обладающие свойством устойчивости, т. е. способностью сохранять амплитуду и форму колебаний
Pic.2
Методы исследования АК Критерий Бендиксона -основан на том, что АК отсутствуют, если в фазовом портр
Методы исследования АК Критерий Бендиксона -основан на том, что АК отсутствуют, если в фазовом портрете системы нет замкнутых фазовых траекторий. Метод точечного преобразования А. Андронова используется для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления АК в системе и изучения их устойчивости. Метод гармонического баланса (Л. С. Гольдфарб) основан на применении частотных характеристик нелинейной системы, получаемых в результате гармонической линеаризации, применяется для приближенного исследования.
Pic.3
Критерий Бендиксона Область применения: для АСУ, описываемых системой нелинейных дифференциальных ур
Критерий Бендиксона Область применения: для АСУ, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений (НДУ): dy1/dt = F1(y1,y2); dy2/dt = F2(Y1,y2), где F1( y1, y2 ) , F2 ( y1, y2 ) – нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости. Если в некоторой области на фазовой плоскости выражение ∂F1 / ∂y1 + ∂F2 / ∂y2 знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий (АК).
Pic.4
Пример: в химическом реакторе идеального перемешивания протекает химическая реакция, описываемая ура
Пример: в химическом реакторе идеального перемешивания протекает химическая реакция, описываемая уравнениями: Пример: в химическом реакторе идеального перемешивания протекает химическая реакция, описываемая уравнениями: где: y1 , y2 – текущие концентрации реагентов в реакторе; y10 , y20 – начальные входные концентрации реагентов; λ – расход; t – время. Находим выражение: ∂F1 / ∂y1 + ∂F2 / ∂y2 = - 2 y1 - 2 λ - 1. В соответствии с физическим смыслом y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0 , т. е. концентрации не могут быть отрицательными, а также λ > 0 , последнее выражение представляет собой знакопостоянную отрицательную функцию, следовательно, автоколебания существовать не могут.
Pic.5
Метод точечного преобразования А. Андронова Система НДУ, описывающих поведение нелинейной АСУ: 1) 2)
Метод точечного преобразования А. Андронова Система НДУ, описывающих поведение нелинейной АСУ: 1) 2) Уравнение фазовой траектории получим, разделив уравнение 2) на уравнение 1):
Pic.6
При t →∞ фазовая траектория последовательно обходит начало координат. S* = Ψ(S) – функция последован
При t →∞ фазовая траектория последовательно обходит начало координат. S* = Ψ(S) – функция последования для точечного преобразования отрезка 0-Γ в себя. Для каждой точки пересечения S она позволяет вычислить последующую точку пересечения S*. Зная S* = Ψ(S) и, приняв за начальную точку пересечения S0, можно вычислить: При t →∞ фазовая траектория последовательно обходит начало координат. S* = Ψ(S) – функция последования для точечного преобразования отрезка 0-Γ в себя. Для каждой точки пересечения S она позволяет вычислить последующую точку пересечения S*. Зная S* = Ψ(S) и, приняв за начальную точку пересечения S0, можно вычислить: Это итерационный процесс. Особое значение имеют точки пересечения S, которые преобразуются функцией Ψ в себя: (*) На отрезке «0-Γ» т. SN, является решением уравнения (*), и называется неподвижной (или инвариантной) точкой преобразования Ψ. Ее наличие свидетельствует об АК
Pic.7
Наглядная геометрическая интерпретация точечного преобразования Значения начальных точек - s, значен
Наглядная геометрическая интерпретация точечного преобразования Значения начальных точек - s, значения последующих точек - s*. Из т. α1 проводим линию паралле- льно оси s до пересечения с биссек- трисой в т. β1. Из т. β1 проводим перпендикуляр до пересечения с графиком Ψ, в т. α2. Из т. α2 проводим линию, параллельную оси s до пересечения в т. β2. Из т. β2 проводим перпендикуляр, который пересекает график Ψ в т. α3 и т. д. Получается «лестница», по которой будем подниматься к т. θ, соответствующей неподвижной т. SN.
Pic.8
Если начальная т. S0 находится в т. е оси S, то, по лестнице спускаемся к точке θ. Если начальная т.
Если начальная т. S0 находится в т. е оси S, то, по лестнице спускаемся к точке θ. Если начальная т. S0 находится в т. е оси S, то, по лестнице спускаемся к точке θ. Из рис. видно, что неподвижная т. SN может быть пределом последовательности итерационного процесса: (*) т. SN – устойчива (устойчивые АК), если существует такая сколь угодно малая окрестность, что любая последова-тельность (*), начинающаяся в ней, сходится к т. SN. В противном случае неподвижная т. SN называется неустойчивой. «Лестница» на диаграмме это наглядно показывает. Формальный критерий следующий:
Pic.9
Варианты точечного преобразования
Варианты точечного преобразования
Pic.10
Метод гармонического баланса (Л. С. Гольдфарб) Исходим из того, что: Нелинейная замкнутая АСУ состои
Метод гармонического баланса (Л. С. Гольдфарб) Исходим из того, что: Нелинейная замкнутая АСУ состоит из линейной части, имеющей характеристику Wлч(iω) и объединяющей все линейные элементы системы, и нелинейного звена Yнэ = F (y ); нелинейный элемент не должен быть частото-преобразующим. нелинейность может быть как статической, так и динамической. линейная часть должна быть фильтром высоких частот. Подобное упрощение для большинства промышленных систем регулирования не несет значительных ошибок.
Pic.11
Фильтр высоких частот На вход НЭ (N) подается гармонический сигнал с частотой ω. x(t)=A sin(ωt) На е
Фильтр высоких частот На вход НЭ (N) подается гармонический сигнал с частотой ω. x(t)=A sin(ωt) На его выходе устанавливаются колебания, не гармонической формы (например, прямоугольная волна). u(t)=N(Asin(Ω t)) - периодическая функция с периодом Т= 2 π / Ω, представим ее рядом Фурье в виде суммы гармоник с частотами Ω, 2Ω, 3Ω, . . . , они поступают на вход ЛЧ и, проходя через нее, изменяет свою амплитуду в Ал(kω) раз, где: Ал (ω) – АЧХ линейной части. Гипотеза фильтра высокой частоты выполняется, если АЧХ линейной части удовлетворяет условию Ал(2 Ω) < 0,05Ал(Ω) , т. е. АЧХ должна быть вида, представленного на рисунке: Такая АЧХ называется характеристикой типа фильтра. Система с такой характеристикой не пропускает высокие частоты, поэтому выходной сигнал ЛЧ будет практически содержать лишь первую гармонику с частотой АК ωа =Ω.
Pic.12
Прохождение гармонического сигнала через нелинейный элемент
Прохождение гармонического сигнала через нелинейный элемент
Pic.13
Метод гармонической линеаризации Идея принадлежит Н. М. Крылову и Н. Н. Боголюбову и базируется на з
Метод гармонической линеаризации Идея принадлежит Н. М. Крылову и Н. Н. Боголюбову и базируется на замене НЭ - линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе НЭ и эквивалентного ему линейного звена. Метод используется, если линейная часть системы удовлетворяет условиям «гипотезы фильтра»: отфильтровываются все возникающие на выходе НЭ гармонические составляющие, кроме первой гармоники.
Pic.14
Разложение периодического сигнала в ряд Фурье Выходной сигнал НЭ Все гармоники, начиная со второй им
Разложение периодического сигнала в ряд Фурье Выходной сигнал НЭ Все гармоники, начиная со второй имеют достаточно малую амплитуду по сравне-нию с первой гармоникой и ими можно пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний на выходе запишется в виде где: При а0=0:
Pic.15
Коэффициенты гармонической линеаризации x(t)=A sin(ωt) – входной сигнал, → sin(ωt) = x/ A; производн
Коэффициенты гармонической линеаризации x(t)=A sin(ωt) – входной сигнал, → sin(ωt) = x/ A; производная входного сигнала в операторной форме (p = d/dt): px = Аωcos(ωt), → cos(ωt) = px / Аω. Первая гармоника периодических колебаний на выходе НЭ: Yн1= a1 sin(ωt) + b1 cos(ωt) = a1 x/ A+ b1 px / Аω = = (q + q′ р/ ω) x; Это уравнение гармонической линеаризации, где: q = a1/A; q′ = b1/A, q и q′ - коэффициенты гармонической линеаризации, для различных нелинейных характеристик они приведены в справочниках по ТАУ. В общем случае q(А, ω) и q′(А, ω) зависят от амплитуды А и частоты ω колебаний на входе НЭ, для статических нелинейностей q(А) и q′(А) являются функцией только амплитуды А входного сигнала, для статических однозначных нелинейностей q′(А) = 0.
Pic.16
В результате гармонической линеаризации НЭ В результате гармонической линеаризации НЭ представлен эк
В результате гармонической линеаризации НЭ В результате гармонической линеаризации НЭ представлен эквивалентной передаточной функцией: Wэ(p) = q + q′ р/ ω. Частотные характеристики гармонически линеаризованного НЭ: АФЧХ - Wэ(jω) = q (А, ω) + j q′ (А, ω) = Аэ (А, ω)℮ ; АЧХ - Аэ (А, ω) = |Wэ(jω)|=√ [q (А, ω)] ² + [q′ (А, ω)] ² ФЧХ - φэ (А, ω) = arg [ Wэ(jω)] = arctg [q′ (А, ω)/ q (А, ω)]. Статическая характеристика двухпозиционного реле: При подаче на вход звена гармонического сигнала x(t) на его выходе установятся прямоугольные колебания, амплитуда которых равна B при x > 0, и −B при x < 0 . Коэффициенты гармонической линеаризации такой нелинейности: q′ (А, ω) = 0; Wэ(jω) = q (А, ω) = 4B /(πА); φэ (А, ω) =0
Pic.17
Уравнение гармонического баланса Из структурной схемы АСУ очевидно соотношение: x = - y, для гармони
Уравнение гармонического баланса Из структурной схемы АСУ очевидно соотношение: x = - y, для гармонического сигнала комплексное обозначение x(t)=A sin(ωt) = А ℮. По схеме: y = Wэ(А) Wл(jω)* x = А ℮ * Wэ(А) Wл(jω) = - А ℮ . Сократим на неравный нулю множитель А℮ и получим: Wэ(А, ω) Wл(jω) = - 1 Это уравнение гармонического баланса. - 1 = ℮, где: φ (ω) = -(2k+1) π , при k =0,1,2,…. Если удастся найти действительные числа А = Аа и ω = Ω, которые обращают это уравнение в тождество, то в системе имеют место автоколебания почти гармонической формы с частотой Ω и амплитудой А.
Pic.18
При исследовании нелинейных систем по частотным характеристикам уравнение гармонического баланса зап
При исследовании нелинейных систем по частотным характеристикам уравнение гармонического баланса записывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентной комплексной передаточной При исследовании нелинейных систем по частотным характеристикам уравнение гармонического баланса записывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентной комплексной передаточной функции разомкнутой нелинейной системы: │Wэ(А,jω)│*│Wл(jω)│= 1; arg [Wэ(А,jω)Wл(jω)] = -(2k+1) π , при k =0,1,2,…. либо: Аэ(А, ω) * Ал(ω) =1; φэ(А,ω) + φл(ω) = -(2k+1) π , при k =0,1,2,….
Pic.19
Определение параметров АК - (Аа, Ω) 1 этап: Выполнить гармоническую линеаризацию НЭ - Wэ(p) = q + q′
Определение параметров АК - (Аа, Ω) 1 этап: Выполнить гармоническую линеаризацию НЭ - Wэ(p) = q + q′ *р/ ω. Запишем передаточную функцию разомкнутой линеаризованной АСУ: Wр(р) = Wл(р) Wэ(p) = = Rл(р) * [q + q′ *р/ ω] /Qл (р).
Pic.20
2 этап: Для оценки возможности возникновения АК в линеаризованной нелинейной АСУ найдем 2 этап: Для
2 этап: Для оценки возможности возникновения АК в линеаризованной нелинейной АСУ найдем 2 этап: Для оценки возможности возникновения АК в линеаризованной нелинейной АСУ найдем условия границы устойчивости. Также, как и при анализе устойчивости линейных систем АК существуют, если при А = Аа и ω = Ω, характеристическое уравнение линеаризованной системы Qл(p) + Rл(p)×[q(А,ω) + q′(А,ω)* р/ω] = 0 имеет пару мнимых корней pi = j Ω и pi+1 = − j Ω.
Pic.21
3 этап: исследовать устойчивость АК 3 этап: исследовать устойчивость АК АК устойчивы, если их амплит
3 этап: исследовать устойчивость АК 3 этап: исследовать устойчивость АК АК устойчивы, если их амплитуда А = Аа, частота ω = Ω и форма устойчивы к малым возмущениям начальных условий. Для этого необходимо выполнить условие: ∂X(A,ω) ∂Y(A, ω) ∂Y(A, ω) ∂ X(A, ω) ∂A ∂ ω А=Аа ∂A ∂ ω А=Аа > 0 ω = Ω ω = Ω Условие является лишь необходимым, то есть позволяет отсеять заведомо неустойчивые АК.
Pic.22
4 этап: проверить гипотезу фильтра высокой частоты 4 этап: проверить гипотезу фильтра высокой частот
4 этап: проверить гипотезу фильтра высокой частоты 4 этап: проверить гипотезу фильтра высокой частоты Построить АЧХ линейной части АСУ Ал(ω) и проверить выполнение условия: Ал(2 Ω) < 0,05Ал(Ω), Если оно не выполняется, применение метода гармонической линеаризации было не правомерно!
Pic.23
ПО КРИТЕРИЮ МИХАЙЛОВА АСУ находится на границе устойчивости, если годограф Михайлова D(jω) проходит
ПО КРИТЕРИЮ МИХАЙЛОВА АСУ находится на границе устойчивости, если годограф Михайлова D(jω) проходит через начало координат, т. е. : D(jω)=Qл(jω)+Rл(jω)*[q(А,ω)+ j* q′(А,ω)]= =X(А,ω) + jY(А,ω)= 0. параметры АК рассчитываются из системы уравнений: (*) X(А,ω) = 0; А = Аа Y(А,ω) = 0. ω = Ω Из (*) можно найти зависимость А и Ω АК от параметров АСУ, например, от коэффициента передачи k линейной части. Для чего в (*) k считают переменной величиной и записывают в виде: X(А,ω,k) = 0; Y(А,ω,k) = 0. По графикам A = f(k), Ω = f(k) можно выбрать такой k, при котором А и Ω возможных АК имеют допустимые значения, или они вообще отсутствуют.
Pic.24
Частотный метод (Л. С. Гольдфарб) По критерию Найквиста незатухающие колебания (АК) в гармонически л
Частотный метод (Л. С. Гольдфарб) По критерию Найквиста незатухающие колебания (АК) в гармонически линеаризованной нелинейной АСУ возникают, если АФЧХ разомкнутой АСУ проходит через точку [−1, j0]: Wр(jω,А) = Wл(jω) Wэ(jω,А) = −1. (*) В случае статической характеристики НЭ условие (*) принимает вид: Wл(jω) =-1/ Wэ(jω,А) Решение этого уравнения относительно Ω и Аа можно получить графически как точку пересечения АФЧХ - Wл(jω) и годографа обратной АФЧХ нелинейной части -1/ Wэ(jω,А) , взятой с обратным знаком. Если эти годографы не пересекаются, то режим АК в АСУ не существует.
Pic.25
Для устойчивости АК с частотой Ω и амплитудой Аa требуется, чтобы изображающая точка при перемещении
Для устойчивости АК с частотой Ω и амплитудой Аa требуется, чтобы изображающая точка при перемещении по годографу нелинейной части Для устойчивости АК с частотой Ω и амплитудой Аa требуется, чтобы изображающая точка при перемещении по годографу нелинейной части -1/ Wэ(jω,А) в направлении увеличения амплитуды Аa подходила к точке пересечения характеристик -1/ Wэ(jω,А)и Wл(jω) изнутри АФЧХ Wл(jω). На рис. годографы расположены так, что в нелинейной АСУ существуют устойчивые АК. Значение Аа определяем на - 1/ Wэ(jω,А), а Ω - на Wл(jω).
Pic.26
Исследование АК по ЛЧХ Запишем уравнения гармонического баланса применительно к ЛЧХ:
Исследование АК по ЛЧХ Запишем уравнения гармонического баланса применительно к ЛЧХ:
Pic.27
Тренировочное задание Исследовать АК в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую пе
Тренировочное задание Исследовать АК в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую передаточную функцию Wл(р)=k/[p(T1p+1)(T2p+1)] , где k=200 c-1; T1=1. 5 c; T2=0. 015 c, а в качестве НЭ используется реле с зоной нечувствительности при с=10, b=2. Р е ш е н и е. Из справочника для реле с зоной нечувствительности находим коэффициенты гармонической линеаризации: q′(А,ω)=0, q(А,ω)=4с/ (π A)*√1-(b/A)² при A≥ b. Ответ:Аа=58В; Ω=4,3рад/c.
Pic.28
Тренировочное задание В соответствии с критерием Бендиксона в рассматриваемой области не существует
Тренировочное задание В соответствии с критерием Бендиксона в рассматриваемой области не существует замкнутых фазовых траекторий при выполнении определенных условий. Сформулируйте эти условия Какая функция называется функцией последования? Каким образом в соответствии с методом преобразования можно определить в системе существующий режим?
Pic.29
Тренировочное задание Какими свойствами должна обладать линейная часть нелинейной системы, чтобы мож
Тренировочное задание Какими свойствами должна обладать линейная часть нелинейной системы, чтобы можно было применить к исследованию режима автоколебаний метод гармонического баланса? Какой факт лежит в основе доказательства существования в нелинейной системе автоколебаний? Сформулируйте аналог критерия Найквиста для исследования устойчивости автоколебаний.
Pic.30
Тренировочное задание В результате исследования режима автоколебаний методом точечного преобразовани
Тренировочное задание В результате исследования режима автоколебаний методом точечного преобразования получили следующую функцию последования. В точке А будет предельный цикл А устойчивый; В неустойчивый; С полуустойчивый?
Pic.31
Тренировочное задание В результате построения функции последования получим s* > s , что свидетель
Тренировочное задание В результате построения функции последования получим s* > s , что свидетельствует о том, что в системе будет процесс А -колебательный; В -расходящийся; С -затухающий.
Pic.32
Тренировочное задание Согласно методу гармонического баланса в нелинейной системе существует режим а
Тренировочное задание Согласно методу гармонического баланса в нелинейной системе существует режим автоколебаний, если АФХ линейной части и инверсная АФХ нелинейного элемента расположены следующим образом:
Pic.33
Тренировочное задание
Тренировочное задание
Pic.34
Тренировочное задание В критерии Бендиксона исследуемое выражение должно быть А -знакопеременным; В
Тренировочное задание В критерии Бендиксона исследуемое выражение должно быть А -знакопеременным; В -знакоопределенным; С -знакопостоянным.


Скачать презентацию

Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!